5. CARACTERÍSTICAS DE UNA FUNCIÓN
5.1 SIGNO DE UNA FUNCIÓN
Dada una función, f(x), determinar el conjunto de valores de x para
los cuales
f(x) > 0, (signo positivo) y el conjunto de
valores para los cuales f(x) < 0, (signo negativo).
Para calcular los
intervalos de signo constante:
Si tenemos la expresión analítica buscamos los valores
de x en los que la función puede cambiar de signo. Estos son:
· Los ceros de la función.
· Las asíntotas verticales (en
el caso de las funciones racionales, por ejemplo, los puntos que anulan el
denominador)
· Los cambios
de rama.
Estos valores de x dividen la recta real en varios intervalos. Para averiguar el signo de la función en cada uno de ellos, se
elige un valor de x al azar de cada intervalo (xi) y se calcula su
imagen (f(xi)). El signo de f(xi) será el
signo de la función en ese intervalo.
Si lo que tenemos es la gráfica de la función,
los intervalos de signo positivo son aquellos en los que la función queda por
encima del eje x, y los de signo negativo, aquellos en los que queda por
debajo
---> EXPLICACIÓN<---
5.2
MONOTONÍA
Se entiende por monotonía
de una función su variación con respecto a la variable independiente. Estudiar
la monotonía de una función consiste en estudiar su crecimiento y su decrecimiento, sus máximos y sus mínimos.
· Una función, f(x), es creciente en un intervalo (a,b) de su dominio si para cualquier par de
valores x1 y x2 pertenecientes a dicho intervalo y con x2 > x1,
se cumple que f(x2) ≥ f(x1).
Si además se cumple que f(x2) > f(x1) decimos que la
función es estrictamente creciente en ese
intervalo.
Decimos que una función es creciente (a secas) cuando lo
es en todo su dominio. Igualmente, decimos que una función es
estrictamente creciente (a secas) cuando lo es en todo su dominio.
· Una función, f(x), es decreciente en un intervalo (a,b) de su dominio si para cualquier
par de valores x1 y x2 pertenecientes a dicho intervalo y con x2
> x1, se cumple que f(x2) ≤ f(x1).
Si además se cumple que f(x2) < f(x1) decimos que la
función es estrictamente decreciente en ese
intervalo.
Decimos que una función es decreciente (a secas) cuando
lo es en todo su dominio. Igualmente, decimos que una función es
estrictamente decreciente (a secas) cuando lo es en todo su dominio.
A los máximos y mínimos se les denomina
de manera genérica extremos de la
función y pueden ser absolutos o relativos.
Una función, f(x), presenta un máximo en punto de un intervalo (a, b)
de su dominio si pasa de creciente a decreciente.
Y presenta un mínimo si se pasa de decreciente a creciente.
5.3
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
·Una función, f(x), es cóncava en un intervalo si para
cualquier par de puntos del intervalo, el segmento
que los une queda por encima de la grafica de f(x) en dicho
intervalo.
·Una función, f(x), es convexa en un intervalo si para cualquier par de puntos del intervalo, el
segmento que los une queda por debajo de la grafica de f(x) en ese intervalo.
Criterio de la
recta tangente
La recta tangente a la función
queda siempre por encima de esta en las funciones cóncavas y por debajo en las
funciones convexas. Este criterio de puede ayudar a identificar los intervalos
de concavidad y convexidad en las gráficas de funciones.
Puntos de inflexión
Una función tiene un punto de
inflexión cuando cambia su curvatura, es decir, cuando pasa de cóncava
a convexa o de convexa a cóncava. En un punto de inflexión la recta tangente
queda por encima de la función en un lado, y por debajo en otro, es decir, la
"atraviesa".
ACOTACIÓN
De manera intuitiva, podemos decir que una función está acotada por arriba cuando el valor
de sus imágenes nunca supera un determinado valor constante.
Análogamente, podemos decir que una
función está acotada por abajo cuando el valor de sus imágenes nunca
es inferior a un determinado valor constante. Veamos unas definiciones un poco
más formales.
Una función está acotada superiormente si existe un número
real k tal que f(x) ≤ k para cualquier valor de x ∈ Dom f.
Al valor y=k se le
llama cota superior de la función.
5.4
SIMETRÍAS
La simetría hace referencia a la correspondencia
exacta entre dos partes de una función. Se puede distinguir entre simetría
par o impar.
· Decimos que una función
presenta simetría par cuándo es simétrica respecto
del eje de ordenadas y.
Esto quiere decir que para cualquier x ∈ Dom f, se cumple: f(x)=f (−x)
· Decimos que una función
presenta simetría impar cuándo es simétrica
respecto del origen.
Esto quiere decir que para cualquier x ∈ Dom f, se cumple: f(x)=f (−x)
----> EXPLICACIÓN 1 <---
---> EXPLICACIÓN 2<---
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